gambar teknik mesin

Terdapat 6 inti bahasan utama yang harus dikuasai dalam mempelajari Gambar Teknik Mekanik, yaitu :

Jenis-jenis garis
Proyeksi
Perspektif
Potongan
Penunjukkan ukuran
Toleransi

Hal di atas mutlak diperlukan untuk bisa membaca, mengerti dan membuat gambar teknik mekanik dengan benar

1. JENIS-JENIS GARIS

1 Jenis-jenis garis dan pengunaannya
Dalam penggambaran teknik, digunakan beberapa jenis garis yang digunakan sesuai dengan maksud dan
tujuannya. Pada dasarnya, jenis-jenis garis dibagi menjadi 3 bentuk :
1. Garis nyata, yaitu garis kontinu
2. Garis gores, yaitu garis pendek-pendek dengan jarak antara
3. Garis bergores, yaitu garis gores panjang dengan garis gores pendek diantaranya
Selain bentuk, harus diperhatikan juga ketebalan garis yang digunakan. Berdasarkan tebalnya, garis dibagi menjadi dua jenis, yaitu garis tebal dan garis tipis, dengan masing-masing kegunaannya. Di bawah ini adalah contoh dari penggunaan variasi garis dan tabel keterangannya

Gambar 1
Contoh penggunaan variasi jenis garis

Tabel jenis-jenis garis dan penggunaannya

Contoh lain penggunaan garis

2. PROYEKSI

Proyeksi 2 dimensi adalah penerjemahan suatu benda bentuk 3 dimensi kedalam bentuk 2 dimensi, artinya benda tersebut digambarkan hanya dari salah satu sudut pandang, dan oleh sebab itu gambar proyeksi 2 dimensi hanya memiliki dua komponen ukuran , yaitu panjang dan lebar. Kekurangan satu elemen ukuran yang lain yaitu ukuran tinggi dikompensasi dengan di buatkan proyeksi dari sudut pandang yang lain yang dapat memperlihatkan ketinggian benda tersebut. Apabila benda yang hendak diproyeksikan memiliki kerumitan yang tinggi, tidak menutup kemungkinan gambar proyeksi yang dibuat menampilkan banyak sudut pandang. Gambar tampilan proyeksi 2 dimensi diusahakan menampilkan sesedikit mungkin pandangan dengan memperhatikan faktor kerapian dan kemudahan pembacaan gambar.

Konsep proyeksi

Mengapa kita membutuhkan lebih dari satu pandangan ?
Dalam pembuatan gambar teknik, ada kalanya satu pandangan tidak mencukupi untuk menerjemahkan suatu benda ke dalam gambar proyeksi 2 dimensi. Perhatikan gambar contoh di bawah;

Gambar 6. Pandangan depan suatu benda

Gambar 7. Alternatif bentuk

Pada gambar 6 terlihat bahwa semua bentuk benda tersebut memiliki gambar proyeksi yang sama seperti gambar 3 (dilihat dari pandangan depan). Untuk mengetahui dengan pasti bagaimana bentuk benda yang sebenarnya, kita harus menambah gambar proyeksi tersebut dengan mengambil sudut pandang yang lain, bisa 2 pandangan, 3 pandangan atau lebih, tergantung dari tingkat kerumitan yang dimiliki oleh benda tersebut. Peraturan dalam menentukan jumlah sudut pandang proyeksi adalah buatlah pandangan sesedikit mungkin, dengan menampilkan seluruh informasi yang diperlukan, dengan catatan keseluruhan gambar tersebut mudah dibaca semua orang (artinya lebih baik membuat gambar 3 pandangan dengan kondisi yang mudah dibaca daripada membuat gambar 2 pandangan dengan kondisi yang sulit dibaca).

Gambar proyeksi

Dari gambar di atas terlihat bahwa untuk menerjemahkan benda 3d (gambar 7) diperlukan paling sedikit 2 pandangan, bisa terdiri dari bermacam kombinasi pandangan, bisa tediri dari pandangan depan + pandangan samping, atau pandangan depan + pandangan atas, atau yang lainnya sepanjang semua informasi bentuk tercakup dalam gambar proyeksi tersebut.

Berikut ini adalah contoh-contoh proyeksi dari benda-benda sederhana, dilanjutkan dengan soal-soal latihannya :

Penguasaan gambar proyeksi diperlukan terutama untuk membuat gambar teknik, bukan untuk membaca gambar teknik, tetapi karena tingkat kesulitan dalam membuat gambar berada di bawah tingkat kesulitan membaca gambar, maka pelajaran proyeksi sebaiknya dilakukan pada tahap awal pengajaran, untuk pendahuluan dalam pelatihan daya bayang dalam pembacaan bentuk gambar 3 dimensi (perspektif).
Sudut pandang proyeksi
Konsep lay out (tata letak)

Nidji - Laskar Pelangi.mp3

Free Mp3 Codes Indo at www.musik-live.net

dalam penggambaran gambar teknik terdapat dua macam konsep, yang didasarkan pada sudut pandang gambar, yaitu : 1. Sudut pertama (1st angle) atau proyeksi Eropa

2. Sudut ketiga (3rd angle) atau proyeksi Amerika

Perhatikan gambar di bawah ;

Cara proyeksi berdasarkan kwadran

“Kamar-kamar” yang terbentuk dari potongan bidang proyeksi tersebut disebut kwadran, yang berarti masing-masing kamar dinamakan kwadran pertama, kwandran kedua sampai keempat, apabila benda diletakkan pada kwadran pertama dan diproyeksikan pada bidang proyeksi di dalamnya, maka cara seperti ini disebut cara pandang (cara proyeksi) kwadran pertama (atau sudut pertama), demikian juga halnya apabila benda diletakkan pada kwadran ketiga dan diproyeksikan pada bidang-bidang proyeksinya, maka cara tersebut dinamakan cara pandang sudut ketiga. Secara konsep, proyeksi sudut kedua dan keempat pun bisa digunakan, tetapi pada prakteknya yang sekarang ini digunakan hanyalah proyeksi sudut pertama dan ketiga. Cara proyeksi sudut pertama Benda seperti yang tampak pada gambar 12a diletakkan di depan bidang-bidang proyeksi seperti pada gambar 12b. Ia diproyeksikan pada bidang belakang menurut garis penglihatan A, dan gambarnya adalah gambar pandangan depan. Tiap garis atau tepi benda tergambar sebagai titik atau garis pada bidang proyeksi. Pada gambar 12b tampak juga proyeksi benda pada bidang bawah menurut arah B, menurut arah C pada bidang proyeksi sebelah kanan , menurut arah D pada bidang proyeksi sebelah kiri, menurut arah E pada bidang proyeksi atas, dan menurut arah F pada bidang depan. Setelah terbentuk semua proyeksi (gambar 12b), bentangkan semua bidang proyeksi menjadi bidang-bidang 2 dimensi (gambar 13a).

Gambar 12a Gambar12b

Gambar 13a Gambar 13b Susunan gambar proyeksi harus sedemikian rupa sehingga pandangan depan A sebagai patokan, pandangan atas B terletak dibawah, pandangan kiri C terletak di kanan, pandangan kanan D terletak disebelah kiri, pandangan bawah E terletak diatas, dan pandangan belakang F boleh ditempatkan disebelah kiri atau kanan. Hasil selengkap dapat di lihat pada Gambar 13b. Dalam gambar, garis-garis tepi yaitu garis-garis batas antara bidang-bidang proyeksi dan garis-garis proyeksi tidak digambar. Gambar proyeksi demikian disebut gambar proyeksi sudut pertama. Cara ini disebut juga “Cara E” karena cara ini telah banyak dipergunakan dinegara-negara Eropa seperti Jerman, Swiss, Prancis, Rusia dsb. Cara proyeksi sudut ketiga Benda yang akan digambar diletak dalam peti dengan sisi-sisi tembus pandang sebagai bidang-bidang proyeksi, seperti pada gambar 14a. Pada tiap-tiap bidang proyeksi akan tampak gambar pandangan dari benda menurut arah penglihatan, yang ditentukan oleh anak panah. Pandangan depan dalam arah A dipilih sebagai pandangan depan. Pandangan-pandangan lain diproyeksikan pada bidang proyeksi lainnya menuerut gambar 14a, Sisi peti dibuka menjadi satu bidang proyeksi lainnya menurut gabar 14b. Hasil lengkapnya dapat dilihat pada gambar 14c. Dengan pandangan A sebagai patokan, pandangan atas B diletakkan di atas, pandangan kiri C diletakkan di kiri, pandangan kanan D diletakkan di kanan, pandangan bawah E diletakkan di bawah, dan pandangan belakang F dapat diletakkan di kiri atau kanan. Susunan proyeksi demikian disebut gambar proyeksi sudut ketiga, dan disebut juga “Cara A” karena cara ini telah dipakai di Amerika.Negara-negara lain yang banyak mempergunakan cara ini adalah Jepang, Australia, Canada dsb.

Benda kerja Hasil proyeksi

Susunan gambar hasil proyeksi

3. PERSPEKTIF Gambar perspektif adalah gambar 3 dimensi yang merupakan hasil terjemahan dari gambar 2 dimensi, jadi merupakan kebalikan dari gambar proyeksi. Membuat gambar perspektif relatif lebih sulit dibandingkan dengan menggambar proyeksi. Kesulitan pertama adalah menggabungkan seluruh pandangan yang ada sehingga kita bisa membayangkan bentuk benda yang sebenarnya. Kesulitan kedua adalah, walaupun kita sanggup membayangkan bentuk perspektif dari benda tersebut di pikiran kita, seringkali kita kesulitan dalam menggambarkan bentuk tersebut di atas kertas. Menerjemahkan hasil pembacaan kita ke atas kertas memang tidak mutlak harus dilakukan, tetapi akan sangat membantu apabila kita sanggup melakukannya. Kemampuan untuk membaca gambar (membayangkan perspektif) lebih banyak diperlukan secara umum daripada kamampuan membuat gambar (membayangkan proyeksi). Kemampuan membuat gambar diperlukan hanya terbatas utuk orang-orang yang tugasnya memang membuat/mencipta gambar teknik, seperti misalnya drafter, designer, atau copies. Tetapi kemampuan membaca gambar diperlukan oleh lebih banyak orang yang tugasnya berkaitan dengan bidang engineering. Oleh karenanya pelatihan gambar perspektif harus dilakukan secara intensif. Teori pada pokok bahasan perspektif ini sangatlah sedikit (untuk tahap dasar), sehingga metoda pelatihan yang terbaik adalah dengan dengan banyak mengerjakan latihan-latihan soal. Di bawah ini adalah beberapa contoh aplikasi gambar perspektif, pelajari dengan baik, kemudian kerjakan latihan soal-soal pada halaman paling belakang Proyeksi Perspektif

Keterangan : PD (pandangan depan), PS (pandangan samping), PA (pandangan atas)

Contoh gambar perspektif

4. GAMBAR POTONGAN Tidak jarang ditemui benda-benda dengan rongga–rongga didalamnya. Untuk menggambarkan bagian–bagian ini dipergunakan garis gores, yang menyatakan garis–garis tersembunyi. Jika hal ini dilaksanakan secara taat asas, maka akan dihasilkan sebuah gambar yang rumit sekali dan susah dimengerti. Bayangkan saja jika sebuah lemari roda gigi harus digambar secara lengkap! Untuk mendapatkan gambaran dari bagian–bagian yang tersembunyi ini, bagian yang menutupi dibuang. Gambar demikian disebut gambar potongan, atau disingkat dengan potongan. Gambar pada gambar 16a memperlihatkan sebuah benda dengan bagian yang tidak kelihatan. Bagian ini dapat dinyatakan dengan garis gores. Jika benda ini dipotong, maka bentuk dalamnya akan lebih jelas lagi. Gambar 16b memperlihatkan cara memotongnya, dan gambar 16c sisa bagian depan setelah bagian yang menutupi disingkirkan. Gambar sisa ini diproyeksikan ke bidang potong, dan hasilnya disebut potongan (gambar 16d. Gambarnya diselesaikan dengan garis tebal. Dalam hal–hal tertentu bagian–bagian yang terletak di belakang potongan ini, tidak perlu digambar. Hanya jika bagian ini diperlukan, maka bagian di belakang potongan ini digambar dengan garis gores.

Gambar 16. Penjelasan Mengenai Potongan

Cara–Cara Membuat Potongan Potongan Dalam Satu Bidang (1) Potongan Oleh Bidang Potong Melalui Garis Sumbu Dasar Jika bidang potongan melalui garis sumbu dasar, pada umumnya garis potongnya dan tanda tandanya tidak perlu dijelaskan pada gambar. Foto demikian disebut potongan utama (gambar 17a) (2) Potongan Yang Tidak Melalui Garis Sumbu Dasar Jika diperlukan potongan yang tidak melalui sumbu dasar, letak bidang potongnya harus dijelaskan pada garis potongnya (gambar 17b).

Gambar 17a Gambar 17b Potongan melalui garis sumbu dasar Potongan tidak melalui garis sumbu dasar Potongan Oleh lebih dari satu bidang (1) Potongan Meloncat Untuk menyederhanakan gambar dan penghematan waktu, potongan–potongan dalam beberapa bidang sejajar dapat disatukan. Pada gambar 18a diperlihatkan sebuah benda yang dipotong menurut garis potong A-A. sebenarnya bidang potongannya terdiri atas dua bidang, yang dalam hal ini akan disatukan. Potongan demikian dinamakan potongan meloncat. (2) Potongan oleh dua bidang berpotongan Bagian – bagian simetrik dapat digambar pada dua bidang potong yang saling berpotongan. Satu bidang potong merupakan potongan utama, sedangkan bidang yang lain menyudut dengan bidang pertama. Proyeksi pada bidang terakhir ini, setelah diselesaikan menurut aturan-aturan yang berlaku, diputar hingga berhimpit pada bidang proyeksi pertama. Gambar 18b menunjukkan bagaimana caranya membuat gambar potongan demikian. (3) Potongan pada bidang berdampingan Potongan pada pipa berbentuk seperti gambar 18c dapat dibuat dengan bidang–bidang yang berdampingan melalui garis sumbunya.

gambar 18a gambar 18b gambar 18c Pot. meloncat Pot. dua bidang menyudut Pot. bidang berdampingan Potongan Separuh Bagian–bagian simetrik dapat digambar setengahnya sebagai gambar potongan dan setengahnya lagi sebagai pandangan (gambar 19). Dalam gambar ini garis–garis yang tersembunyi tidak perlu digambar dengan garis gores lagi. Karena sudah jelas pada gambar potongan.

Gambar 19. Potongan separuh

Potongan Setempat Kadang–kadang diperlukan gambaran dari bagian kecil saja dari benda yang tersembunyi, misalnya benda pada gambar 20a. Gambar–gambar 20b dan 20c memperlihatkan gambar yang dipotong setempat dan potongan penuh. Potongan setempat juga dilakukan pada bagian–bagian yang tidak boleh dipotong (gambar 20d).

gambar 20a gambar 20b

gambar 20c. Potongan penuh gambar 20d

Bagian-bagian yang tidak boleh dipotong Ada beberapa jenis benda yang tidak diperboleh kan untuk dipotong, yaitu : Baut, Paku keling, pasak, poros, sirip penguat, tidak boleh dipotong simbol memanjang. Arsir Untuk membedakan gambar potongan dari gambar pandangan, dipergunakan arsir, yaitu garis tipis miring. Kemiringan garis arsir adalah 45° terhadap garis sumbu, atau terhadap garis gambar. Arsiran dari 2 bagian yang berbeda dan berimpit harus dibedakan pitch-nya. 5. PENUNJUKKAN UKURAN Poin yang akan dipelajasi pada pokok bahasan ini antara lain :

Jenis ukuran (berdasarkan obyek yang di beri ukuran)
Datum
Peraturan-peraturan dalam memberikan ukuran

Untuk memudahkan pemahaman, jenis ukuran dibagi dua, yaitu ukuran bentuk dan ukuran posisi. Ukuran bentuk yaitu ukuran yang menunjukkan panjang dan lebar suatu obyek, termasuk di dalamnya ukuran diameter, radius, dan lain-lain. Sedangkan ukuran posisi adalah ukuran yang menunjukkan jarak obyek tersebut dari suatu bidan referensi tertentu (datum). Contoh ukuran bentuk : Obyek kotak segi empat akan memiliki ukuran bentuk panjang dan lebar, lingkaran akan memiliki ukuran bentuk diameter atau radius, segitiga akan memiliki ukuran bentuk panjang dan tinggi atau panjang dan sudut, dan lain-lain.

Gambar 21. Contoh ukuran bentuk

Untuk memberikan ukuran posisi kita harus menentukan posisi datum terlebih dahulu. Datum adalah bidang referensi. Datum ini bisa berupa titik sudut, garis, ataupun bidang pada suatu benda. Penentuan datum ini didasarkan oleh hal-hal berikut ini :

Fungsi dari benda
Kemudahan pengerjaan
Kemudahan perakitan

Gambar 22. Contoh Datum

Aturan-aturan dalam pemberian ukuran :

Ukuran harus cukup jelas untuk bisa dibaca dengan mudah
Hindari pemberian ukuran ganda
Usahakan untuk menempatkan ukuran diluar area benda
Pastikan angka ukuran dan garis panahnya tidak ditabrak oleh garis yang lain

Gambar 23. Contoh cara penunjukkan ukuran yang benar

Hal penting yang lain dalam penunjukkan ukuran adalah penyederhanaan ukuran, artinya penunjukkan ukuran dibuat sedemikian rupa hingga tidak memakan banyak area gambar yang berarti membuat gambar menjadi lebih lapang dan mudah dibaca. Selain itu dengan efisiensi ukuran, gambar benda yang ditampilkan bisa lebih besar (skala), dan pembacaan akan lebih mudah. Penyederhanaan boleh dilakukan dengan tanpa mengurangi fungsi dari ukuran itu sendiri. Di bawah ini adalah contoh bentuk-bentuk penyederhanaan ukuran yang distandardkan oleh ISO.

Gambar 24. Contoh gambar penyederhanaan ukuran

6. TOLERANSI Pada Gambar Teknik, kita mengenal ada beberapa 2 macam toleransi, antara lain 1. Toleransi bentuk dan Posisi Yang dimaksudkan dengan toleransi bentuk dan posisi adalah, batasan-batasan penyimpangan bentuk atau posisi benda kerja yang diizinkan 2. Toleransi ukuran. Yang dimaksud dengan toleransi ukuran adalah batasan-batasan penyimpangan ukuran yang diperbolehkan pada suatu benda kerja. Pada artikel ini kita hanya akan membahas Toleransi ukuran, yang memang banyak kita lihat dan kita pakai sehari-hari. Toleransi ukuran terbagi lagi atas beberapa jenis:

Toleransi Umum
Toleransi Khusus
Toleransi Suaian

Toleransi Umum Toleransi umum, adalah besaran angka toleransi yang berlaku untuk semua ukuran yang terdapat pada gambar, kecuali ukuran-ukuran yang telah dicantumi angka toleransi secara khusus. Dengan kata lain, ukuran yang tidak diikuti oleh harga toleransi berarti mengikuti harg atoleransi umum yang berlaku. Contoh :

Gambar 25. Contoh toleransi umum

Toleransi Khusus Toleransi khusus adalah toleransi di luar angka toleransi umum, dan diletakkan langsung setelah angka nominalnya.

Gambar 26. Contoh toleransi khusus

Toleransi Suaian Biasanya toleransi suaian dipakai pada benda kerja yang berpasangan, seperti misalnya Poros dan As. Untuk toleransi ini biasanya menggunakan symbol Huruf, untuk lubang biasanya menggunakan huruf Kapital / Huruf besar, sedangkan untuk poros menggunakan huruf kecil. Untuk mudahnya, toleransi suaian ini kita jelaskan dengan mengaplikasikannya pada bentuk lubang dan poros yang berpasangan satu sama lain. Harga toleransi suaian yang dicantumkan menentukan keadaan kelonggaran antara lubang dan poros tersebut. Keadaan suaian dibagi menjadi 3 jenis :

Suaian longgar (clearance fit)

Harga toleransi yang menghasilkan keadaan longgar antara lubang dan poros

Suaian luncur (sliding fit)

Harga toleransi yang menghasilkan keadaan luncur/halus antara lubang dan poros.m Pada keadaan ini, antara poros dan lubang nyaris tanpa kelonggaran, gap yang tercipta antara lubang dan poros berkisar antara 0.002-0.02mm (tergantung dari ukuran nominal lubang-poros).

Suaian sesak (interference fit)

Harga toleransi yang meghasilkan keadaan sesak antara lubang dan poros. Pada keadaan ini ukuran poros lebih besar daripada ukuran lubang, yang memerlukan usaha tersendiri untuk memasang poros ke lubang tersebut (menggunakan tenaga manusia dibantu alat ketok, menggunakan mesin press, menggunakan metoda pemanasan lubang, dsb). Ukuran yang menggunakan harga toleransi suaian mencantumkan angka nominal, simbol toleransi dan angka toleransinya yang ditulis di dalam kurung (angka ini dituliskan hanya apabila diperlukan, misalnya pihak pengguna gambar tidak memiliki table standar suaian ISO). Khusus pada gambar susunan, angka nominal dari benda harus mencantumkan harga toleransi untuk kedua benda, lubang maupun poros.

Gambar 27. Contoh penulisan angka toleransi

RUMUS FUNGSI KUADRAT

2010 02.05

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

$y = ax^2 + bx + c \,\!$

dengan

$a \ne 0 \,\!$

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x², koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Arti nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan cdapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus kuadrat akar rumus abc

y = 0.75 (x + 3.333) (x – 6-000)

Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama ‘rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b danc suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

$y = 0 \,\!$ .

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

$y = ax^2 + bx + c \,\!$

dapat dituliskan menjadi

$y = a (x - x_1) (x - x_2) \,\!$ .

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,\!$

dan

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,\!$ .

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

$b^2 - 4ac,\,\!$

yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

Jika dikriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional — sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.

Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

$x = -\frac{b}{2a}.\,\!$

Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:

$x_+ = \frac{-b}{2a} + i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )$

dan

$x_- = \frac{-b}{2a} - i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )$

Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilaitidak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagaititik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat ( $y_1 = ax^2 + bx + c\!$ ) dengan suatu garis mendatar ( $y_2 = d\!$ ). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.

$y_1 - y_2 = ax^2 + bx + c - d = 0 \!$

Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:

diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara $y_1\!$ dan $y_2\!$ ,
diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara $y_1\!$ dan $y_2\!$ , dan
diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, $y_1\!$ dan $y_2\!$ .

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai yberharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan pula oleh nilai konstanta kuadrat a:

**Harga-harga y**
	$a > 0\!$			$a < 0\!$
	$x < x_1\!$	$x_1 < x < x_2\!$	$x > x_2\!$	$x < x_1\!$	$x_1 < x < x_2\!$	$x > x_2\!$
$D > 0\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$
$D = 0\!$	$y > 0\!$	$-\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$-\!$	$y < 0\!$
$D < 0\!$	$y > 0\!$	$-\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$-\!$	$y < 0\!$

dengan $x_1 < x_2 \!$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila $x, x_1, x_2\!$ bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah $\Re\ x$ (nilai riil)-nya.

Geometry

Untuk fungsi kuadrat: f(x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x adalahbilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, adalah akar-akardari persamaan kuadrat : x² − x− 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

$ax^2+bx+c=0,\,$

adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

$f(x) = ax^2+bx+c,\,$

dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai $x\,\!$ yang memberikan

$f(x) = 0.\,$

Jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari $f\,\!$ adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari $f\,\!$ adalah eksak koordinat-x di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.

gambar teknik

music mp3 player

Jumat, 28 Oktober 2011